祖暅看到一個(gè)小孩在撥弄銅錢(qián)，左邊整整齊齊疊放8枚，右邊有點(diǎn)亂的疊放成8枚。

    祖暅看著這兩個(gè)8枚銅錢(qián)，心里突然在想：“不管怎么疊放，這兩排銅錢(qián)都是一樣多的?！?br/>
    都芳看到祖暅如此說(shuō)：“這不是廢話嗎？不管怎么放，當(dāng)然都是一樣多的了?！?br/>
    祖暅說(shuō)：“那是因?yàn)檫@兩排銅錢(qián)，每一層都是一樣?！?br/>
    都芳對(duì)祖暅說(shuō)的話，更摸不著頭腦，但是看到祖暅已經(jīng)有了某種發(fā)現(xiàn)。

    祖暅說(shuō)：“我知道，劉徽的對(duì)于球體的計(jì)算是錯(cuò)誤的?！?br/>
    都芳說(shuō)：“他提出的難方法是取每邊為1寸的正方體棋子八枚，拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為2寸的正方體，在正方體內(nèi)畫(huà)內(nèi)切圓柱體，再在橫向畫(huà)一個(gè)同樣的內(nèi)切圓柱體。這樣兩個(gè)圓柱所包含的立體共同部分像兩把上下對(duì)稱的傘，劉徽將其取名為“牟合方蓋”。根據(jù)計(jì)算得出球體積是牟合方蓋體的體積的四分之三，可是圓柱體又比牟合方蓋大，但是《九章算術(shù)》中得出球的體積是圓柱體體積的四分之三，顯然《九章算術(shù)》中的球體積計(jì)算公式是錯(cuò)誤的。劉徽認(rèn)為只要求出牟合方蓋的體積，就可以求出球的體積?？稍趺匆舱也怀銮髮?dǎo)牟合方蓋體積的途徑?！?br/>
    祖暅說(shuō)：“我想到了，只要使用剛剛那個(gè)銅錢(qián)的原理，就可以計(jì)算出來(lái)球體體積了。”

    都芳疑惑的說(shuō)：“你剛剛發(fā)現(xiàn)了什么原理？”

    祖暅說(shuō)：“太簡(jiǎn)單了?！皟蓚€(gè)同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等。更詳細(xì)點(diǎn)說(shuō)就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)立體的體積相等?！?br/>
    都芳說(shuō)：“這如果求球體體積？找一個(gè)跟球體登高的東西嗎？”

    祖暅說(shuō)：“知道半球體，就會(huì)知道整個(gè)球體體積。而半球體與圓柱取出其中圓錐剩下的”

    祖暅說(shuō)著，畫(huà)出了一個(gè)半球體，然后在旁邊對(duì)齊畫(huà)出登高圓柱體，這個(gè)圓柱體直徑與半球體直徑一樣。

    祖暅在圓柱體里畫(huà)出了一個(gè)與圓柱等高的圓錐，并且指示這部分的圓錐已經(jīng)取出來(lái)了。

    都芳說(shuō)：“那就留下了一個(gè)缺圓錐的圓柱了。怎么證明，這部分跟旁邊的半球體積一樣?！?br/>
    祖暅說(shuō)：“跟剛剛小孩那兩排8枚銅錢(qián)的原理一樣。”

    祖暅說(shuō)著，畫(huà)出任一截面，截取了缺圓錐圓柱體和半球，把截取的這兩個(gè)面積畫(huà)出來(lái)。

    祖暅對(duì)都芳說(shuō)：“不論我的截面如何挪動(dòng)，你都能發(fā)現(xiàn)半球截面和那缺圓錐圓柱的截面是相等的。只要我能求出這個(gè)缺圓錐圓柱的體積，就可以求出半球體?！?br/>